从几何学角度看宽窄 | 酒业宽窄论②

　　编者按：

　　文化是中国白酒所具备的重要属性之一，其中更蕴含了丰富的哲学思想，这使得中国白酒除了在物质层面带给饮用者以愉悦之外，更让饮用者在精神层面获得升华。

　　“大中有小，小中有大；新中有旧，旧中有新；死中有生，生中有死；宽中有窄，窄中有宽。”四川省委省政府决策咨询委员会副主任、成都市社科联主席、四川省酒类流通协会名誉会长、振兴川酒首席经济学家、发展战略顾问李后强在《宽窄论——人生启迪与智慧》中的不少观点对白酒行业有很强的借鉴意义。

　　《长江酒道》获得李后强会长授权后将分期刊发其中的精彩论述。

　　导语：宽窄蕴含深刻的哲理，特别是包含着丰富的美学、数学、心理学和物理学等知识。本期着重从几何学概念，分析宽窄论在不同几何学中的展现。

　　从欧式几何到黎曼几何

　　我们知道，宽窄是尺寸也是数值，是感觉也是智慧，是比较也是视角。著名诗人苏东坡说过，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。

　　欧几里得几何简称“欧氏几何”，是几何学的一门分科。数学上，欧几里得几何是直线、平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。

　　公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得把人们公认的一些几何知识作为定义和公理(公设)，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。

　　按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为“平面几何”与“立体几何”。流形是局部具有欧几里得空间性质的空间，流形在数学中用于描述几何形体，物理上，经典力学的相对空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。

　　非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义的非欧几何是泛指一切和欧几里得几何不同的几何学；狭义的非欧几何仅是指罗氏几何；至于通常意义的非欧几何，就是指椭圆几何学。

　　欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，头四条公设分别为：

　　1. 过两点能做且只能作一直线。 

　　2. 线段（有限直线）可以无限地延长。

　　3. 以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆。

　　4. 任何直角都相等。

　　第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。长期以来，数学家们怀疑第五公设到底能不能证明？到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,其实就是数学中的反证法。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：

　　第一，第五公设不能被证明。

　　第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。

　　这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。

　　从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。

　　1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。

　　直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

　　欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。

　　黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。

　　黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。

　　黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

　　近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观念是相似的。

　　此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。

　　宽窄的几何学

　　从普通常识和直观上讲，宽窄是一个几何学概念。但是，在不同几何学中，宽窄不同。

　　欧氏几何、罗氏几何、黎曼（球面）几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系。每个体系内的各条公理之间没有矛盾。因此这三种几何都是正确的。

　　宏观低速的牛顿物理学中，也就是在我们的日常生活中，我们所处的空间可以近似看成欧式空间；在涉及到广义相对论效应时，时空要用黎曼几何刻画。黎曼流形上的几何学。

　　黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量。黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。

　　研究黎曼几何要知道这些概念：

　　1. 度量张量。

　　2. 黎曼流形。

　　3. 列维-奇维塔联络。

　　4. 曲率。

　　5. 曲率张量。

　　6. 李群。

　　E. 嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。

　　1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦兹几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。

　　数学上的黎曼几何可以看作是欧式几何的推广。欧式几何中的度量是零曲率的，而黎曼几何研究更一般的度量，在不同的度量下，空间的曲率是不同的。

　　物理学中，牛顿力学粗略地说是建立在欧式空间上的。而广义相对论里的时空是一个黎曼流形。物理时所说的“欧式几何”有时候是指“牛顿时空观”。微分几何中，黎曼几何研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积，把每个微小部分加起来而得出整体的数量。